Temporal Nonlocality in Evolution Equations: Characterization of Wave and Diffusion Properties
Loading...
DOI
Date
2025
Authors
Pietrzak, Tobiasz
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Thesis supervisors
Publisher
The Henryk Niewodniczański Institute of Nuclear Physics Polish Academy of Sciences
License Type
Creative commons license
Abstract
W fizyce teoretycznej wiele podstawowych równań ewolucyjnych zakłada lokalność procesu w czasie, co oznacza, że przyszły stan układu zależy wyłącznie od jego stanu obecnego. Jednakże istnieją procesy wymagające modelowania efektów pamięciowych, w których przeszłe stany wpływają na przyszłą ewolucję. Pierwsze podejścia do tego typu procesów zależnych od pamięci zostało wprowadzone ponad 150 lat temu. Z biegiem czasu mode- lowanie matematyczne procesów z pamięcią ewoluowało, obejmując równa- nia całkowo-różniczkowe i rachunek ułamkowy, których operatory nielokalne z natury uwzględniają historię układu. Modele rzędu ułamkowego są często dokładniejsze niż ich odpowiedniki rzędu całkowitego ze względu na do- datkowe stopnie swobody, dzięki czemu mają zastosowanie w fizyce, chemii, biologii, teorii sterowania czy inżynierii. Głównym przedmiotem niniejszej rozprawy jest analiza systemów dynamicznych zależnych od pamięci, ze szczególnym uwzględnieniem uogólnionego równania telegraficznego poddanego działaniu zewnętrznego ruchomego źródła harmonicznego. Uogól- nione równanie telegraficzne uwzględnia nielokalne pochodne czasowe poprzez funkcje pamięci, które modyfikują zarówno pochodne czasowe pierwszego, jak i drugiego rzędu, umożliwiając opis efektów pamięci w propagacji fal. Badania wykazują pojawienie się przesunięć częstotliwości podobnych do efektu Dopplera w obecności ruchomych źródeł, pokazując, że interakcja między propagacją fal a funkcjami pamięci może generować modyfikacje spek- tralne zależne od prędkości, nawet przy braku ostrego czoła fali. Przeanali- zowano trzy reprezentatywne scenariusze pamięci: zlokalizowany, potęgowy i mieszany, ujawniając, że obecność czoła fali wzmacnia obserwowalne prze- sunięcie częstotliwości, podczas gdy pamięć czysto potęgowa nadal wywołuje subtelne, ale mierzalne zmiany spektralne. Wyniki te dostarczają nowych in- formacji na temat wzajemnego oddziaływania między propagacją fal a nielokalnym zachowaniem czasowym w uogólnionych procesach transportu. Oprócz równania telegraficznego, rozprawa dotyczy uogólnionego równania Fokkera-Plancka z zanikającą pamięcią oraz uogólnionego równania Langev- ina. Rozwiązania analityczne wykorzystujące jądra pamięci o rozłożonym rzędzie i Volterra-Prabhakara zapewniają wyniki mające znaczenie fizyczne. Zjawiska dyfuzji anomalnej, takie jak subdyfuzja, superdyfuzja i ultrapowolna dyfuzja, są analizowane pod kątem różnych jąder szumu i tarcia, podkreślając rolę pamięci w kształtowaniu złożonych zachowań dynamicznych.
In theoretical physics, many fundamental evolution equations assume temporal locality, meaning that a system’s future state depends solely on its present state. However, numerous processes require modeling memory effects, where past states influence future evolution. The first approaches to such memory-dependent processes were introduced over 150 years ago. Over time, mathematical modeling of processes with memory has evolved, encompassing integro-differential equations and fractional calculus, whose nonlocal operators inherently account for the history of the system. Fractional order models are often more accurate than integer-order counterparts due to their additional degrees of freedom, making them applicable across physics, chemistry, biology, control theory, and engineering. The core focus of this dissertation is the analysis of memory-dependent dynamical systems, with particular emphasis on the generalized telegraph equation subjected to an external moving harmonic source. The generalized telegraph equation incorporates nonlocal time derivatives through memory functions that modify both the first- and second-order time derivatives, allowing the description of hereditary effects in wave propagation. The research demonstrates the emergence of Doppler-like frequency shifts in the presence of moving sources, showing that the interaction between wave propagation and memory functions can generate velocity-dependent spectral modifications, even in the absence of a sharp wavefront. Three representative memory scenarios are analyzed: localized, power-law, and mixed, revealing that the presence of a wavefront amplifies the observable frequency shift, whereas purely power-law memory still induces subtle but measurable spectral changes. These results provide new insights into the interplay between wave propagation and nonlocal temporal behavior in generalized transport processes. In addition to the telegraph equation, the dissertation addresses the generalized Fokker-Planck equation with fading memory and the generalized Langevin equation. Analytical solutions using the distributed-order memory kernel and Volterra-Prabhakar memory kernel ensure physically meaningful results. Anomalous diffusion phenomena, such as subdiffusion, superdiffusion, and ultraslow diffusion, are analyzed under different internal noise and friction kernels, highlighting the role of memory in shaping complex dynamical behavior.
In theoretical physics, many fundamental evolution equations assume temporal locality, meaning that a system’s future state depends solely on its present state. However, numerous processes require modeling memory effects, where past states influence future evolution. The first approaches to such memory-dependent processes were introduced over 150 years ago. Over time, mathematical modeling of processes with memory has evolved, encompassing integro-differential equations and fractional calculus, whose nonlocal operators inherently account for the history of the system. Fractional order models are often more accurate than integer-order counterparts due to their additional degrees of freedom, making them applicable across physics, chemistry, biology, control theory, and engineering. The core focus of this dissertation is the analysis of memory-dependent dynamical systems, with particular emphasis on the generalized telegraph equation subjected to an external moving harmonic source. The generalized telegraph equation incorporates nonlocal time derivatives through memory functions that modify both the first- and second-order time derivatives, allowing the description of hereditary effects in wave propagation. The research demonstrates the emergence of Doppler-like frequency shifts in the presence of moving sources, showing that the interaction between wave propagation and memory functions can generate velocity-dependent spectral modifications, even in the absence of a sharp wavefront. Three representative memory scenarios are analyzed: localized, power-law, and mixed, revealing that the presence of a wavefront amplifies the observable frequency shift, whereas purely power-law memory still induces subtle but measurable spectral changes. These results provide new insights into the interplay between wave propagation and nonlocal temporal behavior in generalized transport processes. In addition to the telegraph equation, the dissertation addresses the generalized Fokker-Planck equation with fading memory and the generalized Langevin equation. Analytical solutions using the distributed-order memory kernel and Volterra-Prabhakar memory kernel ensure physically meaningful results. Anomalous diffusion phenomena, such as subdiffusion, superdiffusion, and ultraslow diffusion, are analyzed under different internal noise and friction kernels, highlighting the role of memory in shaping complex dynamical behavior.
Description
Keywords
Citation
Sponsorship:
Grantnumber:
License Type
Attribution 4.0 International