Fractional Calculus and Material Clock Applied to Relaxation in Complex Systems

Abstract

Model Debye’a przedstawia elegancki opis zjawisk relaksacji i dyspersji w oparciu o mechanikę statystyczną. Jednak układy charakteryzujące się pojedynczym czasem relaksacji opisuje jako doskonałe ciecze i kryształy, dość dalekie od złożoności, która dotyczy prawie wszystkich materiałów. W ostatnich dziesięcioleciach opracowano wiele modeli fenomenologicznych, aby uwzględnić anomalne odchylenia od modelu Debye’a. Wśród tych anomalnych modeli, model dyspersji Havriliaka-Negami w domenie częstotliwości i relaksacja Kohlrauscha-Williamsa- Wattsa w domenie czasu są kamieniami węgielnymi, które z powodzeniem dopasowują dane eksperymentalne w swoich domenach, mimo że nie są one odpowiednimi odpowiednikami Fouriera. Ta teza dotyczy nowatorskiego podejścia obejmującego nieliniowe zmienne czasu i częstotliwości, inspirowane ideą przywrócenia złamanej symetrii między modelami dyspersyjnymi i relaksacyjnymi w celu dostrojenia pomysłów Debye’a do anomalii obserwowanych w eksperymentach. Najpierw wprowadzamy model fenomenologiczny oparty na równaniu różniczkowym drugiego rzędu ze współczynnikami zależnymi od czasu w celu opisania anomalnej dynamiki relaksacji w fotoluminescencji, podkreślając rolę całkowitej monotoniczności i fizyczne znaczenie funkcji Kohlrauscha-Williamsa-Wattsa z jej osobliwość. Po drugie, wprowadzamy ogólne równanie ewolucji anomalnych procesów relaksacji w kategoriach komutatora oparte na twierdzeniu Reynoldsa-Leibnitza i transformacji materiałowej, która łączy model dyspersji Havriliaka-Negami i relaksację Kohlrauscha-Williamsa-Wattsa. Zebranie wszystkich wyników umożliwiło znalezienie dwóch różnych źródeł anomalnego zachowania. Podsumowując, nasza uwaga skupiła się na bardziej matematycznym zagadnieniu: warunkach pełnej monotonii funkcji specjalnych stosowanych w opisie procesów relaksacyjnych, takich jak funkcja Mittaga-Lefflera i funkcja G Meijera.

The Debye model presents an elegant description for the relaxation and dispersion phenom- ena based on statistical mechanics. However, it describes systems, characterized by a single relaxation time, as perfect liquids and crystals, quite far from the complexity which affects almost all materials. In the last decades, many phenomenological models were developed to consider the anomalous deviations from the Debye model. Among these anomalous models, the Havriliak-Negami dispersion model in the frequency domain and the Kohlrausch-Williams- Watts relaxation in the time domain are cornerstones that successfully fit experimental data in their respective domains despite not being the relevant Fourier counterparts. This thesis deals with a novel approach, involving nonlinear time and frequency variables, inspired by the idea to restore this broken symmetry between dispersion and relaxation models in order to tune the Debye’s idea with the anomalous behaviours observed in experiments. Firstly, we introduce a phenomenological model based on a second order differential equation with time-dependent coefficients to describe the anomalous relaxation dynamics in photoluminescence highlighting the role of the complete monotonicity and the physical meaning of the Kohlrausch-Williams-Watts function with its singularity. Secondly, we introduce a general evolution equation for anomalous relaxation processes in terms of a commutator based on the Reynolds-Leibnitz theorem and a material transform that bridges the Havriliak-Negami dispersion model and the Kohlrausch-Williams-Watts relaxation. Collecting all the results was possible to find two different origins for the anomalous behaviour. To conclude, our attention focused on a more mathematical issue: the conditions for complete monotonicity of special functions used in the description of relaxation processes as the Mittag-Leffler function and the Meijer G-function.